O sistema Alemão de amortização consiste na liquidação de uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto a primeira que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. O capital emprestado (ou financiado) será indicado com C, i será a taxa de juros ao período, n representará o número de períodos. As amortizações e os pagamentos ao período serão indicados, respectivamente, pelas letras Ak e Pk, onde k=1,2,...,n. Em todas as situações, o final de um período significará o início do período seguinte.
O Modelo matemático
Consideremos a situação que uma pessoa contrai um empréstimo de valor C no instante k=0. A financeira cobra antecipadamente a taxa i sobre C, perfazendo um juro inicial de C i, de forma que o cliente recebe no primeiro momento, o valor Co dado pela expressão:
Co = C - C i = C (1-i)
mas o cliente deverá pagar C no final do período.
No início do 2o. período, o cliente está devendo C, mas amortizará parte do saldo devedor com um valor A1, assim ele ficará devendo neste momento:
C1 = C - A1
Como ocorre a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida neste momento, correspondentes a i C1, logo o pagamento no início do 2o. período deverá ser:
P1 = A1 + i C1 = A1 + i (C - A1)
O cliente deverá pagar à financeira o valor C1 no final do período.
No início do 3o. período, o cliente estará devendo C1 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A2, assim ele ficará devendo:
C2 = C1 - A2
Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida que no momento corresponde a i C2, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser:
P2 = A2 + i C2 = A2 + i (C1-A2)
ou seja
P2 = A2 + i (C - A1 - A2)
O cliente deverá pagar à financeira o valor C2 no final do período.
No início do 4o. período, o cliente estará devendo C2 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A3, assim ele ficará devedor neste momento de:
C3 = C2 - A3
Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele deve novamente pagar juros antecipados sobre a dívida neste momento, que corresponde a i C3, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser:
P3 = A3 + i C3 = A3 + i (C2 - A3) = A3 + i (C1 - A2 - A3)
ou seja
P3 = A3 + i (C - A1 - A2 - A3)
O cliente deverá pagar à financeira o valor C3 no final do período.
Este processo continua até um certo mês com índice k e poderemos escrever:
Ck = Ck-1 - Ak
e
Pk = Ak + i (C - A1 - A2 - A3 - ... - Ak)
Resumindo até o momento, temos:
n Cn Pn
1 C1 = C - A1 P1 = A1 + i (C - A1)
2 C2 = C - A1 - A2 P2 = A2 + i (C - A1- A2)
3 C3 = C - A1 - A2 - A3 P3 = A3 + i (C - A1 - A2 - A3)
4 C4 = C - A1 - A2 - A3 - A4 P4 = A4 + i (C - A1 - A2 - A3 - A4)
... ... ...
k Ck = C - A1 - A2 - A3 - ... - Ak Pk = Ak + i (C - A1 - A2 - A3 - ... - Ak)
A última amortização An deverá coincidir com o pagamento Pn uma vez que todos os juros já foram cobrados antecipadamente e como todos os pagamentos devem ser iguais (exceto Po), então segue que
P1 = P2 = P3 = ... = Pn = P
Como P1=P2, então
A1 + i (C - A1) = A2 + i (C - A1 - A2)
logo
A1 + i (C-A1) = A2 + i (C-A1) - i A2
assim
A1 = A2 - i A2
e dessa forma
A1 = A2 (1-i)
e podemos escrever que
A2 = A1 / (1-i)
De forma análoga, podemos mostrar que
A3 = A2 / (1-i)
para concluir que
A3 = A1 / (1-i)2
Temos em geral que, para todo k=2,3,4,...,n:
Ak = A1 / (1-i)k-1
Como a soma das amortizações Ak deve coincidir com o capital C emprestado ou financiado, segue que:
C = A1 + A2 + A3 + ... + An
Substituindo os valores dos Ak nesta última expressão, obtemos:
Evidenciando o último termo, poderemos escrever:
Como o termo nos colchetes é a soma de n termos de uma PG cujo primeiro termo é 1 e a razão é (1-i), então:
e desse modo
Já observamos antes que
e substituindo o valor de A1 pela expressão obtida acima, teremos:
Esta é a fórmula para o cálculo da prestação no sistema Alemão, em função do capital financiado C, da taxa i e do período n.
Usamos fortemente o conceito de sequência geométrica (PG), o que justifica a importância deste assunto tão pouco aplicado no âmbito do Ensino Médio.
Fórmulas básicas
Para obter os cálculos com as fórmulas básicas
com os seguintes elementos:
Objeto Descrição
C Capital financiado
i Taxa de juros ao período
n Número de períodos
P Valor de cada prestação
A1 Primeira amortização
Ak Amortização para k=1,2,...,n.
Objeto Descrição
C Capital financiado
i Taxa de juros ao período
n Número de períodos
P Valor de cada prestação
A1 Primeira amortização
Ak Amortização para k=1,2,...,n.
Problema típico
Determinar a prestação mensal de um financiamento de R$300.000,00 por um período de 5 meses à taxa de 4% ao mês, através do sistema Alemão de amortização.
Solução: Devemos tomar i=0,04; n=5 e C=300.000,00 e inserir os dados na primeira das três últimas fórmulas apresentadas, para obter a prestação.
Postado por: Katariny Steffani.
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/financeira/alemao/alemao.htm
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